1. 引言

工程師將復合材料應用于旋轉機械，如渦輪螺旋槳、渦輪葉片、轉軸和飛輪。碳纖維增強塑料（CFRP）因其高比強度而廣泛用于高性能應用。設計人員通常將渦輪機械分為亞臨界和超臨界兩類。亞臨界渦輪在其第一階彎曲模態以下轉速旋轉。超臨界渦輪則在超過第一階彎曲模態的頻率下運行。此外，超超臨界渦輪在高于第3或第4階彎曲模態振動的頻率下運行。此類機器的材料選擇成為重要的設計決策。盡管CFRP相對于金屬材料具有優勢，但其各向異性行為會引入系統非線性。

渦輪的性能取決于其結構和振動特性。超臨界機器，特別是超超臨界機器中觀察到的一個有趣現象是其非線性響應。這種行為可歸因于材料或幾何非線性。此類非線性在亞臨界機器中同樣存在，但其對系統行為的影響較不顯著。在超超臨界機器中，彎曲模態振動頻率低于運行頻率；機器運行產生的激勵可能引發非共振模態相互作用。

在工程應用中，旋轉機械部件可能出現高頻振動。高頻激勵和非線性是非共振相互作用的關鍵因素。當系統表現出幾何或慣性非線性時，施加外部高頻激勵可能導致非共振模態相互作用

本研究考察一根以超超臨界轉速旋轉的柔性渦輪機械軸，該軸具有固有慣性非線性。軸的第一階彎曲模態振動頻率為1.8赫茲。當軸超過第一階振動模態時，系統正常運行。同樣，它順利通過第二和第三階彎曲模態而無異常。在34赫茲的旋轉頻率下，軸開始呈現第一階彎曲模態特征。該模態的振蕩幅值呈指數增長，導致災難性失效。首要問題是運行頻率是否為第一階振動模態的整數倍。如果不是，為何第一階彎曲模態被激發？這一問題無法通過機械系統的線性物理理解來回答。

混沌在機械、航空、電氣和生物系統中普遍存在。系統中的非線性耦合了線性解耦的模態。由于模態耦合，內共振和模態間能量交換等現象變得明顯。為研究這些現象，建立系統的非線性模型至關重要。線性數學模型無法捕捉混沌物理系統的行為。分析混沌的工具包括維數計算、李雅普諾夫指數、頻譜分析、分岔圖和時序分析。若線性模態可通約或近似可通約，即存在非零整數k_i使得k_1ω_1 + … + k_nω_n ≈ 0，則發生內共振。若激勵頻率與兩個或多個線性固有頻率匹配，則可能發生組合共振。

值得注意的是，某些系統表現出非共振響應，將能量從較高模態傳遞至較低模態。更重要的是，非共振模態相互作用不依賴于相互作用模態頻率之間的任何關系。除模態間的大間隔外，此類相互作用的唯一明顯標志是響應功率譜中存在非對稱邊帶。功率譜說明了信號功率在不同頻率分量上的分布。我們的渦輪軸被激勵的激勵頻率與較低模態之間的距離同樣顯著，較低模態頻率為激勵頻率的1:18。

現有文獻明確表明，缺乏采用聯合實驗、解析和數值方法來分析非共振模態相互作用下轉子動力學的統一而穩健的框架，特別是能夠明確識別驅動該行為潛在物理機制的框架。

2. 問題建立

考察渦輪軸的邊界條件，我們發現其驅動端僅具有旋轉自由度。同時，軸在非驅動端表現出有限的間隙。在我們的實驗中，我們將此邊界條件替換為具有最小撓度的懸臂梁。為了在實驗室環境中研究該現象，我們通過消除梁的旋轉來簡化問題。主要目標是闡明能量從第三階模態向第一階模態傳遞的機制。如果我們能夠理解該現象發生的原因，將能更好地預防該問題或修改結構以解決它。

為進一步簡化問題，將圓形截面軸替換為矩形截面梁。這種截面變化防止了面內和面外模態之間的模態相互作用，這兩種模態在圓形截面梁中彼此接近。由于這些模態之間的相互作用不是本分析的重點，我們通過改變梁的截面來消除它。與實際情況下機器旋轉產生激勵相比，實驗梁在其基部沿垂直于梁軸的方向受到外部激勵。在實際中，殘余慣性不平衡量的大小決定了激勵幅值，而在實驗室實驗中，激振器承擔這一角色。

3. 實驗裝置

圖1

圖1展示了實驗裝置的示意圖。一根細長的CFRP梁垂直安裝，由350牛激振器進行諧波驅動。梁的一端連接至激振器，使激勵方向垂直于梁的寬度。梁的尺寸如下：長度950毫米，寬度20毫米，厚度2.5毫米。它由8層鋪層組成，每層厚0.312毫米，采用Toray T-300碳纖維，鋪層順序為[+45/?45/+45/?45]s。用作單層的LY564環氧樹脂質量比為60:40，有效彈性模量為26吉帕，剪切模量為4吉帕，密度為1570千克/立方米。梁的尺寸設計使其前三階振動模態保持在50赫茲以下，與渦輪軸的模態相似。

圖2

圖2展示了反饋控制回路的原理框圖。加速度計安裝在梁的端部，連接至激振器，以確保輸入激勵測量的一致性。應變片用于測量梁的響應。應變片安裝在梁表面加速度計正上方。應變片位置的精心選擇至關重要，因為如果安裝點位于50赫茲頻帶內的節點處，讀數將可忽略不計。

條件放大器對來自應變片和加速度計的信號進行濾波，然后進行記錄。應變片測量值表示梁在應變片安裝點處的應變。使用應變片測量振動時，重要的是要理解：在不同振動模態下，相似的應變值并不總是對應于相同的梁尖端撓度。

數據采集與調理設備包括：小野測器DS 3600四通道信號分析儀（日本橫濱小野測器）、Brüel & Kj?r 4375壓電式電荷加速度計、Brüel & Kj?r 2635電荷放大器與調理器（帶低通濾波器，丹麥奈魯姆Brüel & Kj?r公司）。所用應變片為15EH型Micro Measurements應變片（美國賓夕法尼亞州莫爾文Micro Measurements公司）。應變數據采用NI-9237應變橋模塊（美國國家儀器公司，德克薩斯州奧斯?。┎杉?，如圖3所示。

圖3

4. 實驗結果

動力系統的頻響函數（FRF）為其非線性特性提供了關鍵洞察，包括分岔、多穩定解共存、跳躍不連續性和幅值相關剛度效應。作為診斷的第一步，進行了頻響和力響測量以建立系統的基準動態行為。從信號分析儀獲得的FRF用于識別結構的線性模態特性。同時，采用歐拉-伯努利梁理論數值計算梁的固有頻率，模型中明確包含重力載荷。實驗測量與理論預測的模態頻率之間觀察到高度一致。

為進一步研究與第三階面內彎曲模態相關的動態響應，進行了頻率掃描測試：保持恒定基部激勵幅值0.75g，在第三固有頻率（31.815赫茲）附近變化激勵頻率，覆蓋30赫茲至33赫茲范圍。圖4展示了CFRP梁在31.8赫茲下的振蕩，呈現出疊加第一階模態振動的第三階模態振型。

圖4

對于力響應曲線，激勵頻率恒定為30赫茲，而激勵幅值從0g變化至1g。圖5和圖6分別展示了基于正掃和反掃數據得到的頻響曲線和力響應曲線。

圖5

圖6

從圖5可以明顯看出，第三階模態附近不存在結構振動模態。然而，當我們將激勵頻率掃過第三階模態時，梁的響應受到其第一階模態的影響。這表明梁中發生了非共振能量傳遞。圖7展示了梁響應中的多頻率振蕩，證實了所選梁截面、鋪層和材料適用于研究寬間隔模態間的能量傳遞。

圖7

在正掃和反掃過程中均觀察到，當第三階模態以周期性或混沌方式調制時，與第一階模態相關的頻譜分量攜帶顯著能量。此外，當第三階模態的行為轉變為周期性狀態時，第一階模態要么消失，要么呈現可忽略的能量。

第三階模態調制的慢動態產生一個新頻率。該頻率源于第三階模態霍普夫分岔的高頻和低頻分量（邊帶）的調制，將被稱為霍普夫頻率。圖8顯示了除激勵頻率外的兩個主峰：一個是帶邊帶的第三階模態，另一個是接近第一階模態的霍普夫頻率。第三階模態周圍邊帶的非對稱性表明存在相位調制。觀察到，降低激勵頻率會使梁運動跳躍至單模態響應。

圖8

5結論

通過將超臨界旋轉軸建模為非旋轉的矩形截面懸臂梁，研究了其非共振模態響應。采用實驗、數值和解析方法對問題及其關鍵機制進行了分析。實驗觀察到，增加外部激勵幅值F會導致第三階模態周圍形成邊帶。此外，更高的激勵幅值增大了這些邊帶之間的間距。第三階模態的相位調制產生一個低頻分量（霍普夫頻率），其值等于邊帶間距。隨著邊帶進一步分離，該低頻分量也隨之移動。當邊帶間距與第一階模態匹配時，該低頻分量與第一階模態發生共振，導致梁的響應組合了第三階和第一階模態。

進行了數值模擬，通過與實驗結果匹配數據來量化非線性常數D和E的影響。本研究強調了非共振行為對自立方非線性項D的強烈依賴性，而混合立方非線性項E對梁響應的影響明顯較弱。在CFRP懸臂梁中，運動方程中的非線性項代表了各向異性層合結構中大撓度和轉動引起的幾何和運動學效應。二次非線性描述了彎曲-拉伸耦合和偏置平衡狀態等對稱性破缺機制。相反，立方非線性主要源于中面拉伸以及纖維重新取向和剪切變形引起的幅值相關有效剛度。這些非線性項影響振動測試中觀察到的幅值相關頻率偏移、模態耦合和能量再分布。

使用多尺度法的解析結果揭示了簡化動力系統（α）中系統行為與自立方和混合立方非線性常數D和E之間的關系。系統的相位調制（θ）直接與（α）和外部激勵幅值F相關聯。幅值調制（a）直接受相位調制（θ）和外部激勵F的影響。分岔閾值通過α直接受非線性常數D和E的影響。當前結果表明，從第三階模態向第一階模態的能量傳遞通過第三階模態的調制實現。第三階模態的幅值和相位調制在圖12的響應頻譜中清晰可見，表現為第三階模態頻率周圍的邊帶。

本研究開發了一個分析超超臨界CFRP軸非線性行為的框架，整合了用于測試的幾何簡化、用于計算分析的模態降階以及用于分岔分類的解析技術。該方法還可擴展以包含層間滑移、纖維-基體分層、微裂紋以及其他影響該非線性行為的物理參數。